내쉬 균형의 무한한 적용 설명: 존 내쉬가 천재였던 이유

노벨상 수상자인 존 F. 내쉬 주니어가 일요일 교통사고로 사망했습니다.

내쉬 평형의 개념은 직관적이고 우아하며 비교적 이해하기 쉽습니다. 의미 있는 결과와 분석을 생성하기에 충분히 구체적이지만 다양한 분야로 확장되고 적용될 수 있을 만큼 일반적입니다.

John F. Nash Jr는 일요일에 교통사고로 사망했습니다. 그는 노르웨이에서 막 돌아온 뉴어크 공항에서 집으로 돌아가는 길이었다. 그곳에서 그는 권위 있는 수학 부문 아벨상을 수상했다. 내쉬는 게임 이론에 대한 연구로 1994년 경제학 노벨상을 수상했으며 두 가지 상을 모두 수상한 유일한 사람입니다. 내쉬 평형의 개념은 직관적이고 우아하며 비교적 이해하기 쉽습니다. 의미 있는 결과와 분석을 생성하기에 충분히 구체적이지만 진화 생물학, 경제학, 국방 연구 및 정치와 같은 다양한 분야로 확장 및 적용하기에 충분히 일반적입니다. 그러나 수학 커뮤니티는 그의 기하학과 편미분 방정식에 대한 그의 작업을 그의 가장 중요하고 가장 깊은 것으로 간주하고 있습니다. 그의 Abel Prize 인용에 따르면.

내쉬가 30세에 노벨상과 아벨상을 모두 수상했다는 것은 놀라운 일입니다. 그는 1958년 편미분방정식에 대해 단 한 편의 23페이지 분량의 논문을 썼습니다. Harold W Kuhn이 1994년 노벨 세미나에서 언급했듯이 , 그가 이번 주에 영예를 안고 있는 결과는 대학원 연구의 첫 14개월 동안 얻은 것입니다. 실제로 Nash는 학부생이었던 Carnegie Institute of Technology의 R L Duffin으로부터 한 줄짜리 추천서를 가지고 박사 과정 학생으로 Princeton에 왔습니다. 이 사람은 천재입니다. 프린스턴에서 Nash의 논문 고문인 A W Tucker는 몇 년 후 다음과 같이 썼습니다. 때때로 나는 이 권고가 사치스럽다고 생각했지만, Nash를 오래 알수록 나는 Duffin이 옳았다는 데 동의하게 되었습니다.

그러나 1959년 초에 내쉬는 통제 불능 상태에 빠지기 시작했고 정신 분열증의 증상을 보이기 시작했습니다. 그는 편집증과 망상이 되었고, 몇 번의 짧은 시간 동안의 명료함을 제외하고는 그의 연구는 약 40년 동안 끝이 났습니다. 같은 기간 내쉬의 이름, 그가 형식과 정의를 준 비협조적 게임, 그의 평형 개념은 기초 학부 게임 이론 교육의 일부가 되었습니다.

그렇다면 비협조적 게임이란 무엇인가? 한 플레이어의 이익이 다른 플레이어의 손실을 수반하는 제로섬 게임과 같이 보수 구조로 인해 협력이 배제되는 게임이 아닙니다. 게임 내에서 협력의 여지가 있을 수 있지만 법적 구속력이 있는 계약과 같은 공모 전략에 대한 약속을 보장하는 메커니즘이 없기 때문에 배제됩니다.

간단하고 유명한 비협조 게임은 죄수의 딜레마입니다(위 그림). 두 명의 공모자가 별도의 방에서 동시에 체포되어 심문을 받았다고 가정해 보겠습니다. 각각은 자백을 할 것인지 아니면 침묵을 지킬 것인지 선택할 수 있으며 거래가 제안됩니다. 그녀가 자백하면(하지만 범죄 파트너는 그렇지 않음) 공범자는 10년 동안 감옥에 갈 수 있습니다. 그러나 둘 다 조용히 하기로 선택하면 경범죄로 각각 1년씩 감옥에 갈 것입니다. 그리고 둘 다 자백하면 각각 8년씩 감옥에 가게 된다.

게임의 독특한 내쉬 균형은 두 플레이어가 모두 고백하는 곳입니다. 흥미롭게도 둘 다 자백하지 않으면 둘 다 더 나을 것입니다. 그러나 그것은 내쉬 균형이 아니며, 이는 다른 플레이어가 하고 있는 것을 고려할 때 어떤 플레이어도 자신을 위해 결과를 개선할 수 없는 안정적인 상태로 정의됩니다. 잠시 동안 두 플레이어가 어떻게든 자백하지 않기로 선택했다고 가정해 보겠습니다. 그러한 상황에서 선수 B가 자백하지 않는다는 점을 감안할 때 선수 A는 어기고 대신 자백을 선택하는 것이 더 나을 것입니다. B 선수도 마찬가지입니다. 그래서 둘 다 조용히 하겠다는 약속을 어기고 대신 자백할 것입니다.

내쉬균형과 비협조 게임의 적용은 무궁무진하다. 예를 들어, 인도의 일부는 오늘날 민간 자본이 자신의 자금을 투입하기 전에 투자 주기가 시작되기를 기다리는 것 같다고 지적했습니다. 이 상황은 두 잠재적 투자자 사이의 비협조적 게임으로 모델링될 수 있으며, 투자의 이점은 둘 다 돈에 빠지는 경우에만 실현됩니다. 그러한 게임에는 두 가지 내쉬 균형이 있습니다. 하나는 두 플레이어가 모두 투자하는 것이고 다른 하나는 둘 다 투자하지 않는 것입니다. 우리는 나쁜 균형에 갇혀 있는 것 같습니다. 그리고 내쉬는 비협조적 게임에 대해 최소한 하나의 균형이 존재함을 증명할 수 있었지만 이론은 왜 특정 하나가 다른 하나가 아닌 결과를 초래하는지에 대해 침묵합니다. 여기에 정부, 사회, 규범이 개입하여 나쁜 균형에서 좋은 균형으로 우리를 조금씩 움직입니다.

parth.mehrotra@expressindia.com

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